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灰色残差模型与递补模型对比及在城市需水量预测中的应用

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【中文关键词】 灰色模型GM(1    1)  残差模型  灰色递补模型      城市未来需水量  
【摘要】 在传统灰色预测基础上,通过模型模拟的还原值与原始数据比较,取其差值,构建新数列模型代回原模型修正误差。灰色残差模型在模拟精度方面超过传统灰色方法,而且更能对外界因素的影响做出反应。通过对比和实践验证,灰色残差模型和递补模型都很好地弥补传统灰色模型的不足而且能更好地预测城市未来需水量。
【部分正文预览】

 现存的许多水量预测存在局限性。不变的用水定额不符合用水变化的客观规律;其次,由于用水特点的地域性差别,所制定的用水定额适用性较差,会造成较大的预测误差[1 ] 。又如,回归预测分析方法通过自变量来预测响应变量,认为自变量的改变是预测结果改变的诱因,所以自变量的选取至关重要,对自变量预测值的准确性和可靠性要求较高。它还有以下缺点[2 ] :要求大样本量,要求样本有较好的分布规律,可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象。
我国水资源需求序列更多的是属于记录时间较短、历史数据较少的一类,采用近期的用水量数据进行预测才具有更高的可信度。灰色系统原理简单、所需样本少、计算方便、预测精度高和可检验性强[3 ] 。笔者对传统灰色模型进行了改进,利用传统模型与原始数据间的差值建立残差模型和递补模型,对城市未来生活用水量进行预测。这两种模型可以在许多原始数据不足的情况下有效地对系统未来发展趋势进行预测,适于我国现状。
1  灰色残差模型与灰色递补模型[ 4 ]
1. 1  GM (1 ,1) 模型
目前常用的GM ( n , h) 模型有GM (1 ,1) 、GM(1 , N) 、GM(2 ,1) 等,其中GM(1 ,1) 模型是迄今为
止应用最为广泛的灰色模型[5 ,6 ] (其中, n 为阶数, h为变量个数) 。GM(1 ,1) 建模的步骤[7 ,8 ] 为:
(1) 累加生成(A GO) 。有非负数据序列x(0) =建设部科学技术项目(06 K4 14) ;省级重点实验室开放基
金项目(HJ 200601 ,200602 ,200604) 。
{ x(0) (1) , x (0) (2) , ⋯, x(0) ( n) } ,作I - A GO (一次累加) ,得: x(1) = { x (1) (1) , x(1) (2) , ⋯, x (1) ( n) } ,其中:
x (1) ( k) = Σkm =1x(0) (m) , k = 1 ,2 ,3 , ⋯, n。x(1) 可以建立下述白化形式的方程:
d x(1)dt+ ax(1) = u 。这是一阶线形单变量的微分方程,故记GM (1 ,1) 。
(2) 建立预测公式。x(1) 的预测公式:
x^(1) ( k + 1) = ( x(0) (1) - ua) e- ak + ua,k = 0 ,1 ⋯ (1)
对x(1) 作IAGO(递减还原) ,可得x(0) 的预测公式:
x^(0) ( k + 1) = (1 - ea) ( x(0) (1) - ua) e- ak , k = 0 ,1 ⋯(2)
可以看出, GM (1 ,1) 模型是基于“贫”信息状况,在时序累加生成层次上用微分拟合法建立的一阶单变量常系数微分方程,旨在描述一个环境相对不变的广义能量系统。
1. 2  GM(1 ,1) 残差模型
通过GM(1 ,1) 建立的模型模拟实际问题时,和原始提供数据比较,出现误差,此误差称为GM
模型的残差。用残差来对原有GM 模型进行修正。如果按x(0) 的某一领域建模,得到下述GM(1 ,
1) 模型的时间响应函数:x^(1) ( k + 1) = ( x(0) (1) - ua) e- ak + ua, k = 0 ,1 ⋯ (3)
从传统灰色模型得到数据列为:
x^(1) = { x^(1) (1) , x^(1) (2) , ⋯, x^(1) ( n) } (4)原有A GO 数列为:x(1) = { x(1) (1) , x (1) (2) , ⋯, x(1) ( n) } (5)
定义残差q(0) 为:
q(0) ( k) = x (0) ( k) - x^(0) ( k) (6)建立模型:
q^(0) ( k′+ 1) = ( - a′) ( q(0) (1′) -u′a′ ) e- a′k (7)对x^(1) ( k + 1) 进行导数修正,当x^(1) ( k + 1) =x (0) (1) - uae - ak 时,有:
x^(0) ( k + 1) = ( - a) x(0) (1) - uae - ak (8)
所以作了残差GM(1 ,1) 模型修正后,有:
x^(0) ( k + 1) = ( - a) x (0) (1) - uae - ak +δ( k - i)( - a′) q(0) (1′) -u′a′e- a′k (9)当k ≥i 时,δ( k - i) = 1 ;当k < i 时,δ( k - i) = 0。

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